viernes, 17 de marzo de 2017

La sucesión de Fibonacci y el triángulo de Pascal

La entrada de hoy consiste en la (famosa) relación que mantienen la sucesión de Fibonacci y el triángulo de Pascal. Ciertamente hay poco que decir, ya que es una relación muy conocida, estudiada y divulgada.


Para empezar, el triángulo de Pascal es una ordenación en forma piramidal de los coeficientes binomiales (o números combinatorios). Al igual que la sucesión de Fibonacci, sus propiedades son bastante curiosas. Entre ellas destacan:
  1. Cada nuevo número situado bajo el espacio que separa otros dos es la suma de ambos.
  2. La suma de los elementos de cada fila es siempre una potencia de 2.
  3. Al sumar dos elementos consecutivos de la diagonal 1, 3, 6, 10, 15, etc. se obtiene un cuadrado perfecto (es decir, el cuadrado de un número natural).
  4. Si en una fila el siguiente número al 1 es primo, los demás son múltiplos de él.
Con respecto a la sucesión de Fibonacci, la relación que existe entre ambos elementos consiste en que la suma de los elementos de las diagonales finitas del triángulo forman los números de la sucesión de Fibonacci, como podemos ver en la imagen:


Podemos por tanto establecer una expresión que relaciona cada fila del triángulo con un número de la sucesión. Para ello vamos a ver algunos ejemplos concretos de cómo las sumas de los números combinatorios de las diagonales finitas del triángulo son equivalentes a los números de la sucesión:


Siguiendo de forma análoga con las siguientes diagonales se puede observar cómo para todo n par en Fn el último número combinatorio que forma parte de la diagonal es n/2 sobre (n/2)-1, y para todo n impar es (n-1)/2 sobre (n-1)/2. Así se cumple:


sábado, 25 de febrero de 2017

La sucesión de Fibonacci y las ternas pitagóricas

La entrada de hoy consiste en ver qué relación tiene la sucesión de Fibonacci y uno de los teoremas más importantes y conocidos a lo largo de la historia: el Teorema de Pitágoras. Dicho teorema establece que en un triángulo rectángulo (aquel que tiene un ángulo recto), la suma de los cuadrados de los catetos del triángulo (los lados del triángulo que no son opuestos al ángulo recto) es igual al cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto). Una terna pitagórica es un conjunto de tres números enteros positivos abc, tales que a2+b2=c2. Se puede por tanto ver que a y b son las medidas de dos catetos de un triángulo rectángulo, y c es la medida de la hipotenusa. Las tres primeras ternas pitagóricas son (3, 4, 5), (5, 12, 13) y (7, 24, 25).
La relación con la sucesión indica que al tomar cuatro términos consecutivos de la sucesión: {Fn, Fn+1, Fn+2, Fn+3}, si son operados de forma adecuada, se puede formar una terna pitagórica:
La demostración: tomando {Fn, Fn+1, Fn+2, Fn+3} como {x, y, z, t}, podemos dejar x, t en función de y, z, ya que t=y+z, y x=z-y. De este modo tenemos:
Algunos rasgos curiosos de esta relación son:
  1. La expresión anterior es válida para todo conjunto de cuatro números de Fibonacci consecutivos.
  2. No toda terna pitagórica se puede expresar en función de dicha operación de cuatro números de Fibonacci.
Se pueden encontrar varios ejemplos que verifican la segunda "propiedad". La terna formada por (7, 24, 25), en la que bien a o bien b son 7, no puede ser expresada como una operación de números de Fibonacci. Para comprobarlo, supongamos que b es 7 y a es 24. Como b es divisible entre 2 pero 7 no, entonces b no puede ser 7. La otra opción sería que a fuese 7. Si a fuese 7, o bien Fn o bien Fn+3 tendrían que ser 7, ya que 7 es un número primo. Si esto ocurriese, 7 tendría que estar en la sucesión de Fibonacci, lo cual es falso. Esto implica que existe al menos un caso en el que una terna pitagórica no se puede expresar en función de una operación de cuatro números de Fibonacci (de la forma deducida anteriormente como se puede ver en la expresión de arriba), como queríamos demostrar.

domingo, 12 de febrero de 2017

Sucesiones generalizadas de Fibonacci

Hoy me gustaría hablar sobre un tema que diverge un poco de la sucesión, si bien tiene su origen en las sucesiones creadas por recurrencia y en los estudios de Édouard Lucas (es decir, en la semilla que plantó Fibonacci dentro del ámbito de las sucesiones).
Se trata de las sucesiones generalizadas de Fibonacci y de las sucesiones creadas por recurrencia. Para empezar, vamos a presentar la sucesión de Lucas:
La sucesión de Lucas es una aplicación de los números naturales en sí mismos, y muy parecida a la sucesión de Fibonacci: la única diferencia es que L(1)=2 (es decir, su primer término es 2), mientras que en la sucesión de Fibonacci, F(1)=1. Por esta razón, la sucesión de Lucas y la de Fibonacci comparten muchas características (por ejemplo, ambas están relacionadas de la misma manera con la razón áurea). Al igual que para la sucesión de Fibonacci existe una fórmula que permite hallar el enésimo término de la sucesión (fórmula de Binet), para la sucesión de Lucas también existe una fórmula:
y esta nos será muy útil posteriormente. Una vez nombrada y explicada la sucesión de Lucas, pasemos a otras sucesiones parecidas a las de Fibonacci.
Si consideramos una relación de recurrencia de la forma:
donde P y Q son números enteros (es decir, que cada término se forma con la suma de múltiplos de los dos anteriores), podemos observar que para P=1 y para Q=-1, la relación que se crea es similar a la de la sucesión de Fibonacci y a la de la sucesión de Lucas. Si tomamos únicamente Q=-1 constante en las relaciones de recurrencia, y variamos P, dándole los valores {2, 3, 4, 5, ...}, se obtienen las llamadas sucesiones P-Fibonacci. Algunos ejemplos son:

2-Fibonacci: 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, ...
3-Fibonacci: 0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, ...
4-Fibonacci: 0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, ...
5-Fibonacci: 0, 1, 5, 26, 131, 701, 3640, 18901, ...

Un rasgo importante de estas sucesiones es la llamada constante n-Fibonacci, determinada por la raíz positiva del polinomio:
Esto se puede deducir de la forma:

Si generalizamos esto, e incluimos Q, a partir de las relaciones de recurrencia creadas, las sucesiones que se generan tienen distintas constantes, determinadas por las soluciones positivas del polinomio:
lo que se deduce de la misma forma que anteriormente se dedujo para el otro polinomio. Para ciertos valores de P y Q, las constantes mencionadas son los números metálicos, que han tenido gran importancia a lo largo del tiempo en diversas artes visuales. Algunos de ellos son:
Es interesante observar que para los valores de P y Q correspondientes con la sucesión de Fibonacci, el número metálico asociado es el número de oro (o número áureo). Esto se debe a que el cociente entre dos números consecutivos de la sucesión tiende al número áureo.
Con esto acaba la entrada de hoy, señalando la relación que tienen los números metálicos con las sucesiones recurrentes, parecidas a la de Fibonacci (o ella misma), y vinculando dos elementos que aparentemente no tienen conexión alguna, pero que, como hemos demostrado, se relacionan fuertemente.

viernes, 3 de febrero de 2017

La sucesión de Fibonacci y sus sumas

Algunas propiedades matemáticas curiosas de la sucesión de Fibonacci incluyen su relación con el número de oro (φ), con algunos fractales, con otras sucesiones, etc., pero ahora quiero centrarme en dos características de la sucesión, ambas relacionadas con la suma de sus términos.

A la hora de estudiar una sucesión, suele ser útil tener una expresión o fórmula que indique cuánto es la suma de todos los números de la sucesión hasta llegado un punto cualquiera, es decir, la suma de los x primeros términos (la suma de los primeros términos hasta el término x), pero como los términos de la sucesión se expresan F(n), digamos la suma de los n primeros términos (la suma de los primeros términos hasta el término n). Lo curioso de esta operación reside en que la expresión (o fórmula) que la determina indica que la suma de los n primeros términos de la sucesión es el término n+2 (el segundo término siguiente) tras restarle la unidad: S(n)=F(n+2)-1, siendo S(n) la suma de los n primeros términos. Sin embargo en matemáticas las cosas no se pueden afirmar sin más (a menos que sean axiomas de los que se parte y que no se pueden demostrar), hay que demostrarlas, para saber que se cumplen para todo ejemplo que queramos poner. A la hora de demostrar, en varias ocasiones se pueden abordar las demostraciones de formas distintas, pero siempre se suele partir de lo mismo y se llega a lo mismo, la diferencia está en las propiedades que hayas aplicado durante el proceso para conseguir demostrarlo. En este caso en la imagen está una de las varias demostraciones que se pueden llevar a cabo.

El otro curioso caso es el de la suma de 10 números consecutivos cualesquiera de la sucesión. Resulta que ésta siempre es múltiplo de 11; de hecho, es múltiplo de 11 y del séptimo término de la suma. La demostración es un tanto pesada, ya que consiste en aplicar la definición tantas veces como sea necesario hasta llegar a lo anterior.

Como se puede esperar, existen (y se pueden deducir) muchísimas expresiones más que resultan curiosas, por la propia definición de la sucesión. Así que, si alguno de vosotros llega a algo interesante, ¡ponedlo en los comentarios a ver si el resto consigue demostrarlo!

viernes, 6 de enero de 2017

La sucesión de Fibonacci y Teoría de conjuntos

Para poder manejar los términos con algo más de comprensión a nivel matemático (es decir, poder saber de verdad qué es una sucesión y de qué estamos hablando cuando estudiamos una) es preciso sumergirse un poco más en los conceptos básicos desde los cuales podemos partir para entender bien la sucesión. Estos son aquellos que se puedan leer en el comienzo (por lo menos el primer capítulo) del libro How to think like a mathematician, por Kevin Houston, un matemático que trabaja en la Universidad de Leeds, en el Reino Unido.

Teoría de conjuntos es la parte básica necesaria para entender de forma sólida lo que es una sucesión. Daremos una introducción sin profundizar. Para empezar, veamos que un conjunto es lo más básico que podemos establecer (aunque ciertamente un conjunto se compone de elementos). Pongamos el ejemplo de un conjunto A={gato, perro, colibrí}. Esta forma de expresar un conjunto indica que el conjunto A tiene los elementos gato, perro, colibrí. En total tiene 3 elementos. También B={perro, gato, perro, colibrí, gato} tiene 3 elementos, ya que dos se repiten. En este caso podríamos afirmar que los conjuntos A y B son iguales (A y B son el mismo conjunto). Al conjunto sin elementos se le denomina conjunto vacío y, pese a toda intuición, es un concepto muy usado y de altísima utilidad. De este modo, el conjunto {} es el conjunto que contiene al conjunto vacío, y podríamos afirmar que ∅ pertenece a {} (expresándolo con notación más precisa  ∈ {}), sin embargo  no pertenece a , tengamos en cuenta que ambos son conjuntos, no elementos. Otro ejemplo de conjunto sería A={1,2,3,5,4}, esta vez siendo A un conjunto formado por números. Es importante diferenciar entre el conjunto tipo A={1,2,3,5,4} y B={1,{2,3},5,4}. En este ejemplo, {2,3} es un elemento del conjunto B, pero ni 2 ni 3 son elementos de dicho conjunto, al contrario que en A, donde 2 y 3 son elementos, pero {2,3} no es ningún elemento del conjunto.

Una vez sabemos esto, podemos definir la intersección y unión de dos conjuntos (pese a que no vamos a utilizarla ahora para entender las bases de la sucesión). La intersección de dos conjuntos es otro conjunto que contiene los elementos comunes a los dos conjuntos iniciales. Por ejemplo, si tenemos los conjuntos A={1,2,3,5,4} y B={1,{2,3},5,4}, la intersección de A y B sería el conjunto AB={1,4,5} (se denota  a la intersección). La unión, por otro lado, es el conjunto que contiene a los otros dos conjuntos. Como su nombre indica, une a los otros dos conjuntos. Siguiendo con el ejemplo anterior, el conjunto unión de A y B sería AB={1,2,3,{2,3},4,5} (se denota  a la unión). Una forma más visual de imaginar estos conjuntos intersección y unión es mediante los diagramas de Venn.

Un subconjunto (de un conjunto) es otro conjunto que tiene los mismos elementos que otro conjunto pero menos que dicho conjunto. Me explico con un ejemplo: A={1,2,3,{3}}, y B={1,{3}}. En este caso B es subconjunto de A, ya que comparte elementos con A, pero no es A. Si un subconjunto tiene el mismo número de elementos que el conjunto del que es subconjunto, entonces dicho conjunto y dicho subconjunto son el mismo conjunto. Como es de esperar, la unión de un conjunto (A) y un subconjunto suyo (B) es el conjunto (A), ya que todos los elementos del subconjunto están en el conjunto. Con la intersección pasa lo contrario, ya que los elementos que estén en el conjunto y no en el subconjunto no se encontrarán en la intersección; por ende la intersección de un conjunto y uno de sus subconjuntos es dicho subconjunto. Por esto se dice que si un conjunto Y es subconjunto de X, Y está contenido en X, es decir, YX. Diferenciar entre estar contenido y ser elemento de es muy importante. Si Y está contenido en X, podemos afirmar que los elementos del Y son elementos de X, y por tanto pertenecen a X (del mismo modo que también pertenecen a Y por ser sus elementos), pero siempre y cuando Y sea un subconjunto de X y no sea un elemento de X, solamente se cumple que Y esté contenido en X, pero Y no pertenece a X. Un ejemplo: Y={a,e,i,o,u}, X={a,e,i,o,u,{a,e,i,o,u}}. En este caso Y es subconjunto de X y también es elemento de X, luego Y está contenido en X pero también pertenece a X. Sin embargo, si definiéramos X={a,e,i,o,u}, Y sería subconjunto de X, estaría contenido en X, pero Y no pertenecería a X, ya que Y no es un elemento de X.

Los conjuntos que primero estudiamos en matemáticas cuando empezamos a ir al colegio son distintos conjuntos de números. Los números naturales, los enteros, los racionales, los irracionales, los reales, y los complejos (aunque con estos últimos no nos topamos en exceso durante nuestro aprendizaje). Los números naturales son 1,2,3,4,5,6,... y el conjunto se denota por , y hay debate sobre si se incluye o no al 0. En este blog no lo incluiremos. Los números enteros son los naturales y el 0 y los negativos. El conjunto se denota por , y como se puede apreciar,  está contenido en , luego es subconjunto de . Los racionales, en los que están contenidos los enteros, son aquellos que podemos expresar con fracciones, es decir, los enteros y los que tienen decimales y decimales periódicos. Se denotan por . Los irracionales son aquellos que tienen decimales infinitos y que no forman patrones, como π o la raíz cuadrada de 2, o de 3, o de 5, etc. Los reales contienen a los racionales e irracionales, y se denotan por , y por último, los complejos, que contienen a los reales y a los "imaginarios" (es decir, a los números que no están en el conjunto de los reales, como pueden ser las raíces de números negativos).

Tras entender esto, podemos pasar directamente a lo que son las aplicaciones. Una aplicación es una relación entre dos conjuntos. Una regla que hemos de seguir para conseguir partir de un elemento del primer conjunto y llegar al del segundo. Podemos establecer un símil: una aplicación es la máquina en la que metemos algo y nos lo transforma en otra cosa, es decir, por así entenderlo, una aplicación es un "proceso". Por ejemplo, las funciones son casos concretos de aplicaciones. Otro ejemplo, una aplicación entre los conjuntos A={1,2,3,4} y B={5,6,7,8} puede asociar cada elemento de A con otro de B, por ejemplo el 1 con el 5, el 2 con el 6, el 3 con el 7, y el 4 con el 8. Las aplicaciones se pueden denotar de varias formas. Entre ellas f:AB será la forma de la que la denotaré. Esto se interpreta: aplicación f que va desde el conjunto A hasta el conjunto B. El conjunto de partida se llama dominio (en este caso A), y el conjunto de llegada se llama codominio o imagen (en este caso B). La imagen, por tanto, de un elemento del dominio, es el elemento del codominio que le corresponde. En el ejemplo anterior, la imagen del 1 sería el 5, y la denotaríamos por f(1)=5.

Bien, pues después de todo este rollo, podemos comprender que la sucesión de Fibonacci, al igual que todas las demás sucesiones, es una aplicación, que en este caso va desde los números naturales a los números naturales también. Llamemos F a la aplicación, de modo que sería F:, donde F(1)=1, F(2)=1, F(3)=2, F(4)=3, F(5)=5, F(6)=8, F(7)=13, etc. También se puede representar mediante un subíndice (como haremos ahora siempre y cuando utilicemos fórmulas).

martes, 3 de enero de 2017

Fibonacci y cómo presentó la sucesión

Probablemente hayáis oído alguna vez algo sobre Fibonacci, bien sobre la sucesión que lleva su nombre, o por su famoso libro Liber Abaci. De este modo, como primera entrada sobre el tema me gustaría contar algo sobre quién fue y qué hizo (y a qué se debe su fama, vaya).

Lo más seguro es que podáis encontrar mucha más información sobre Fibonacci en internet, por ejemplo en estas páginas: Wikipedia(ES), Wikipedia(ENG), ite.educacion.

Leonardo da Pisa o Leonardo Fibonacci (nombre acuñado debido a que fue hijo de Guglielmo Bonacci), tuvo como padre a un mercader de alta importancia, quien le llevó a varios de sus viajes comerciales. Como consecuencia, Fibonacci aprendió el sistema de numeración indoarábigo y emprendió expediciones por el Mediterráneo, en las que se percató de la gran utilidad de dicho sistema frente a los usados por los comerciantes. En 1202, a los 34 años de edad, Fibonacci publicó el libro Liber Abaci. En él introducía el uso del sistema de numeración indoarábigo, varios conceptos comerciales a los que aplicar dicho sistema y, entre otras cosas, la famosa sucesión (de Fibonacci), en el contexto de la prosodia india y como solución a un problema de la cría de conejos:


Cierto hombre tenía una pareja de conejos en un lugar cerrado y deseaba saber cuántos se podrían reproducir en un año a partir de la pareja inicial, teniendo en cuenta que de forma natural tienen una pareja en un mes, y que a partir del final del segundo se empiezan a reproducir.


Suponiendo que los conejos nunca mueren, y que en cada pareja nueva se originan un macho y una hembra (e ignorando los problemas genéticos que ocasiona la endogamia), obtenemos que durante los dos primeros meses hay una sola pareja, y que al final del segundo mes la pareja se reproduce, con lo que en el tercer mes hay 2 parejas. En el cuarto mes la primera pareja, a la que llamaremos A, se vuelve a reproducir, originando la pareja C, y la segunda pareja, es decir, la pareja B, cumple un mes de vida, con lo cual no se reproduce; así en el cuarto mes tenemos 3 parejas: A, B y C. Durante el quinto mes, A se reproduce, B se reproduce y C cumple un mes de vida, teniendo como consecuencia las parejas A, B, C, D, E (5). Durante el sexto mes, A, B y C se reproducen, y D y E no, con lo cual tenemos las parejas A, B, C, D, E, F, G, H (8). Probablemente hayáis notado un patrón al que obedece la cría de conejos según este problema. Cada mes, el número de parejas conejos que hay es la suma de las parejas de los dos meses anteriores, exceptuando los dos primeros meses, en los que hay 1 pareja en ambos. De ahí se deduce que en el séptimo mes habrá 13 parejas, durante el octavo habrá 21, durante el noveno 34, y así. Podemos establecer entonces una sucesión de números enteros positivos, que definimos por una relación de recurrencia (esto es que para formar cada nuevo número de la sucesión se necesita recurrir a otro anterior) de forma que cada número de la sucesión sea la suma de los dos anteriores, con los dos primeros términos 1. Si quisiéramos definirla con más rigor:


lunes, 2 de enero de 2017

Primera Entrada

Buenas!

Este blog está dedicado a aquellos que conozcan la sucesión de Fibonacci y a quienes no la conocieran pero estén dispuestos a mostrar interés por el tema. También me gustaría en el futuro escribir sobre distintos temas relacionados con las matemáticas, fuera del ámbito de la sucesión, para mantener el blog a flote y sin perder nunca contenido que mostrar (además de ejercer una labor de divulgación).

El plan es ir publicando una entrada cada semana, con información nueva y con curiosidades sobre la sucesión de Fibonacci. Espero que os interese y que consiga hacer que todos aquellos que no utilizan las matemáticas en su día a día pierdan un poco el miedo a oír algo sobre dicho campo e incluso despierte interés en ellos, una vez se den cuenta de que las matemáticas nos rodean y de que son un material básico en el desarrollo de todas las ciencias y por tanto en el de todas las tecnologías.